También es llamado número áurico o proporción divina, Como veremos luego, aparece en la naturaleza, en el arte y en el diseño.
Si se divide a un segmento
en dos partes
e
(
),
es la relación:
Es decir es la relación entre el segmento mayor y el menor, siempre que la misma sea igual a la relación entre el total y el segmento mayor.
A
se lo llama en general medio proporcional entre
e
.
En este caso particular
recibe el nombre de segmento áureo de
,
(siempre es el mayor de ambos subsegmentos) y a
se lo denomina el resto.
Si reemplazamos
por su expresión, se obtiene:
De donde se obtiene la ecuación de segundo grado:
Sus raíces son:
El valor positivo 1.618 (número irracional) es el número de oro. La razón de su importancia la veremos luego en las propiedades.
Es el rectángulo cuyos lados tienen como relación al número de
oro
Dibujamos un cuadrado de lado
y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los
vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial,
de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo. Aplicando el
teorema de Pitágoras al triángulo que se observa en la figura se
obtiene que la hipotenusa es
:
Por lo tanto el lado mayor del rectángulo será
Finalmente la relación entre ambos lados del rectángulo será
,
es decir
.
Te comentaré aqui algunas de las interesantes propiedades del número de oro.
Restando 1 en ambos miembros
Operando
Es decir
O también, colocando al mayor en el numerador
(
es mayor que
)
Es decir: si
es el segmento áureo de
,
entonces
es el segmento áureo de
Este proceso puede seguir indefinidamente.
En el interior solo existen los ángulos
36
,72
y
108
Llamando
,
,
y
,
(es decir de mayor a menor) y considerando los triángulos
,
y
,
es sencillo demostrar con trigonometría que las relaciones entre los
segmentos mayores y los siguientes menores es
(se deja el trabajo al lector):
Es decir:
Y también:
La estrella que observás en el interior, llamada estrella pentagonal, fue el símbolo de los pitagóricos. Ellos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico en el cual solo tenían lugar los números irracionales. Sin embargo, el hecho de que se encontrara el número de oro (irracional) en su interior, es una casualidad.
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta por lo visto en la propiedad 1, que el rectángulo EBCF es también áureo. Si repetimos la operación y después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Se puede obtener asi una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.
Hemos visto que
.
Si reemplazamos en forma sucesiva la
del segundo miembro por
,
se obtiene la siguiente expresión, llamada en matemáticas
fracción continua.
En general una fracción contínua tiene números arbitrarios
antes del signo +
Por sencillez, se emplea la siguiente notación:
Con esta notación, el número de oro
puede expresarse como la fracción contínua:
Leonardo de Pisa, 1170-1240 era un rico comerciante italiano, más conocido como Fibonacci y fue uno de los más grandes matemáticos medievales. El apodo del padre de Leonardo, era Bonacci (bonachón). por lo cual Leonardo recibió el apodo de Fibonacci ( por filius Bonacci, hijo de Bonacci)
De sus viajes trajo de la cultura árabe el sistema de numeración arábigo (el que usamos) el cual reeemplazó al romano.
A él se debe la siguiente sucesión de números, a cada uno de
los cuales lo llamaremos
.
La ley de formación es: cada uno de ellos es la suma de los dos anteriores.
Esta sucesión se origina en el siguiente problema:
Calcular el número de parejas de conejos que se tendrán al cabo de un año, suponiendo que:
a) Los conejos demoran un mes en llegar a la adultez y procrearse.
b) Todos los meses pueden procrearse.
c) En cada procreación nace una pareja y no muere ninguno.
La explicación surge de
observar que por
ejemplo: 
¿Pero que tiene que ver la sucesión de Fibonacci con el número de oro?.
Si realizamos el cociente entre dos valores sucesivos de la sucesión.
y
,
se obtiene un número que tiende a
cuando
Si se sabe que ese cociente tiene límite, es lícito el siguiente razonamiento:
Por lo tanto:
Ecuación áurea de donde como ya sabemos (ver primer párrafo),
al resolverla resulta
Muchas de las apariciones del número de oro tienen que ver con valores arquitectónicos y estéticos.
Desde la antiguedad se consideró que los elementos que guardaran esta
proporción presentan una relación armoniosa.
Cito a
continuación algunas estructuras que la presentan.
El rectángulo mayor ABCD es áureo es decir:
También son áureos:
En la gran pirámide de Keops, el cociente entre la altura de la
pirámide y la mitad de cada uno de los lados de la base es
y la relación entre la altura de cada triángulo y la mitad de cada
uno de los lados de la base es
Este es el primer uso conocido del número áureo.
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron los griegos y romanos, fueron plasmadas en el siguiente dibujo de Leonardo da Vinci. Luego fue utilizado por Luca Pacioli para ilustrar su libro La Divina Proporción editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las
construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre
perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean
proporciones áureas. Como tarea puedes dibujar como en la figura, un
círculo con centro en el ombligo y luego el cuadrado indicado. Una
persona armoniosa (según Luca Pacioli) presentará la relación
entre el lado del cuadrado y el radio del círculo igual a
.
A mediados del siglo XIX (1850), el alemán Zeisig dedicó 21 años de su vida para medir al evolución de esta relación en una persona cuyo nombre la historia no registra. Con el seguimiento de este ombligo observó que esta relación entre la altura total y la distancia entre el ombligo y el pie, se iniciaba en alrededor de 2 (recién nacido) y se estabilizaba en aproximadamente 1.625. ¡menudo trabajo! Sin embargo este cálculo podría ser de interés como aplicación de una clase de estadística en una escuela, aplicado a personas de distintas edades.
Llamando:
"a" a la distancia desde el comienzo de la frente hasta la punta del mentón;
"b" a la distancia entre el mentón y la línea de unión de los párpados;
"c" a la distancia desde el comienzo de la frente hasta la línea de unión de los párpados;
El rostro matemáticamente hermoso es el que guarda la siguiente proporción:
Es decir
es el segmento áureo de
.
¿Como anda tu belleza, matemáticamente hablando?
La espiral logarítmica (ver propiedad matemática en un párrafo anterior) gobierna el crecimiento armónico de muchas especies animales y vegetales, por ejemplo el caracol .
La parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las plantas se denomina Filotaxia.
Si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas a la que
llamaremos
,
hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es,
por regla general, un término de la sucesión de Fibonacci.
Además las hojas se distribuyen en forma de espiral. Si mientras contamos
dichas hojas vamos girando el tallo, el numero de vueltas
que debemos dar a dicho tallo para llegar a la siguiente hoja con la misma
orientación resulta ser también un término de la sucesión.
Se llama característica del tallo a la fracción
.
En el olmo es 2/1 (dos hojas en un giro), en el álamo 5/2 (cinco hojas en
dos giros), en el sauce llorón 8/3 y en el almendro 13/8. Si
representamos por
el término que ocupa el lugar
en la sucesión de Fibonacci, en la mayoría de los casos la
característica viene dada por el cociente entre valores consecutivos de
la sucesión o entre valores alternados en dos. Es decir:
o
.
Así, en el caso del sauce llorón es
.
Por la conexión entre una sucesión de Fibonacci y el número de
oro, podemos decir que la característica tiende al número de oro.
Las "hojas" de una piña de pino tienen, por regla general, una característica de 5/3, 8/5 o 13/8 (experimentalo la próxima vez que te encuentres con una), presentando propiedades similares las hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de las palmeras, etc.
El hombre ha utilizado los rectángulos áureos para diseñar las tarjetas de crédito, el carnet de identidad, los paquetes de cigarrillos,etc. Si sos escéptico mide alguno de estos rectangulos y halla sus proporciones.
También se usan para diseñar dimensiones de libros, cuadros, tarjetas postales, estampillas, ventanas, camas, ubicación del título en el lomo de un libro, etc.
Existen muchísimas otras propiedades y aplicaciones referentes al
número de oro
,
en.la música , la pintura, la naturaleza, etc. La idea de esta nota es
presentártelo y luego tu curiosidad hará el resto. Si buscás,
vas a encontrar muchas propiedades o aplicaciones interesantes. Cuando las
encuentres, séría muy bueno que las compartieras con todos nosotros.
Fuentes:
Junta
de Andalucía
Aprehender.Net